Correlação e Regressão Simples

Análise de Correlação

• Força da relação:

  + Compartilhamento de variância;
  + Medida da co-variância;

• Requisitos:

  +  A amostra de dados emparelhados (x e y);
  +  Dados aleatórios, quantitativos e independentes;
  +  Confrimação gráfica (diarama de dispersão); 
  +  Sensível a outleirs;
  +  Distribuição normal; 

Fórmula e Notação

Aplicação da Fórmula:

Interpretação:

    +  O coeficiente de correlação varia de 0 a 1;
    +  Ele fornece a direção do relacionamento (Positivo, Negativo ou Zero);
    +  Positivo: valores altos e altos (x e y);
    +  Negativo: valores altos e baixos (x e y);
    +  Zero: nenhuma relação linear;

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    0.00    5.00   10.00   11.22   18.00   22.00

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   1.000   3.000   6.000   5.667   8.000  10.000

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    0.00    5.00   10.00   11.22   18.00   22.00

Detalhes:

1. Variação constante: aumentos de x acompanhados por y;
2. Intensidade: fraca, moderada ou forte;

Outros Exemplos:

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   136.4   470.9   747.0   780.4  1032.4  3177.3

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.    NA's 
##   0.020   1.835   7.980  12.345  20.910  69.670      26

Força ou Magnitude da Correlação

• Ao que corresponde extamente a força de uma correlação?

  + Porporção entre a covariância e a variação individual;
  + Elevando-se ao quadrado têm-se a variância compartilhada (%);

  + Coeficiente de 0.757 significa 57,30% de variância compartilhada;
  + 42,69% de variância individual meio a meio (21,34%);
  + Tecnicamente uma variável explica 57,30% da variância da outra;

Densenhando

Significância Estatística

  + Probabilidade do r ocorrer por erro amostral;
  + Probabilidade do r ser fruto do acaso;
  + Regra geral: r será transforma em escore t.

Fórmula:

Repersentação da Relação

• Qual a forma mais simples de resumir a relação entre as variáveis?

Representação da Relação

Qual a forma mais eficiente, por quê?

Análise da Correlação

Amostra do último quartil

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.    NA's 
##   0.020   1.835   7.980  12.345  20.910  69.670      26

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    8.49   14.00   17.60   19.80   24.60   46.80

• O que esse cenário nos diz sobre focalização de políticas?
• É possivel desenhar uma que foque os municípios com mau desempenho nos dois indicadores?
• Se os recursos forem escassos, qual seria a medida correta?

Regressão Linear

        + Dada uma correlação é possível predizer os valores y;
        + Estimar quanto y mudará dado uma alteração em x;
        + x variável independente, previsora ou expanatória;
        + y variável resposta ou dependente;
        

Equações

y = a + bx (função linear)

Tecnicamente:

\(Y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon\).

Requisitos

    + Todos os citados para correlação;
    + Distribuição uniforme dos resíduos;

Exemplo

Exemplo

Cálculo

• Para qualquer valor de x existe um correspondente prevível em y.
• Quando x for 8 qual será o valor estimado de y?
• Quando x for 15 qual será o valor estimado de y?

Onde esta Wally?

    + Bo =  Intercepto - valor de y quando x = 0;
    + B1 =  Inclinação - o quanto y com a mudança de uma unidade de x;
    

Reta de Regressão

    + Nenhuma reta passará exatmente sobre todos os pontos;
    + A questão é: onde exatamente deveriámos traçar a reta?
    

Reposta

    + No ponto em que minimiza as distância em relaçao aos pontos;
    + A distância entre a reta e cada ponto corresponde aos erros;

Avaliação da Precisão

+ É possível avaliar o modelo pelo nível e erro ou acerto; 
+ Erro: soma do qudrado do erro;
+ Acerto: soma do quadrado da regressão.
+ Total: soma do quadrado do erro + soma do quadrado da regressão.

Tem-se que: 

Exemplo

Avaliação da Precisão

    + Soma do quadrado da regressão representa a melhoria na previsão;
    + Outra foma de expressar a medida é a partir de r²;
    + O r² vaira de 0 a 1 quanto maior melhor a previsão;
    + O quadrado do r de pearson corresponde a r²;